初级微积分示例

$\log (x - 4) - \log (3 x - 10) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x - 4}{3 x - 10}) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 4}{3 x - 10} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$(x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(x - 4) x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

$0 + 0 + (x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$x \cdot x - 4 x = (3 x - 10) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 4 x = (3 x - 10) \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将 $3 x - 10$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x = 3 x - 10$

解题步骤 3.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 4 x - 3 x = - 10$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 7 x = - 10$

解题步骤 3.2.4

在等式两边都加上 $10$ 。

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$

解题步骤 3.2.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $- 7$ 。

$- 5, - 2$

解题步骤 3.2.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.2.7

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.2.7.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 3.2.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.2.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.2.9

最终解为使 $(x - 5) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (x - 4) - \log (3 x - 10) = \log (\frac{1}{x})$ 成立的解。

$x = 5$

初级微积分 示例

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