初级微积分示例

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

解题步骤 2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

解题步骤 3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

解题步骤 5

将 $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ 乘以 $\frac{1}{x - 4}$ 。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

解题步骤 6

利用对数的定义将 $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 7

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

解题步骤 8

化简 $10 ((x + 4) (x - 4))$ 。

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解题步骤 8.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 8.1.1

运用分配律。

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

解题步骤 8.1.2

运用分配律。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

解题步骤 8.1.3

运用分配律。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 8.2

化简项。

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解题步骤 8.2.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 8.2.1.1

按照 $x \cdot - 4$ 和 $4 x$ 重新排列因数。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 8.2.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 8.2.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 8.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

解题步骤 8.2.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 8.2.3.1

运用分配律。

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

解题步骤 8.2.3.2

将 $10$ 乘以 $- 16$ 。

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

解题步骤 9

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 $10 x^{2}$ 。

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

解题步骤 9.2

从 $x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

解题步骤 10

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 10.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

解题步骤 10.2

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

解题步骤 10.3

将 $- {(3 x)}^{2}$ 和 $4^{2}$ 重新排序。

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

解题步骤 10.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = 3 x$ 。

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

解题步骤 10.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

解题步骤 11

化简 $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ 。

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解题步骤 11.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ 。

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解题步骤 11.1.1

运用分配律。

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

解题步骤 11.1.2

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

解题步骤 11.1.3

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

解题步骤 11.2

化简项。

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解题步骤 11.2.1

合并 $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 11.2.1.1

按照 $4 (- 3 x)$ 和 $3 x \cdot 4$ 重新排列因数。

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 3 \cdot 4 x$ 和 $3 \cdot 4 x$ 相加。

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

解题步骤 11.2.1.3

将 $4 \cdot 4$ 和 $0$ 相加。

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

解题步骤 11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

解题步骤 11.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

解题步骤 11.2.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.2.2.3.1

移动 $x$ 。

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

解题步骤 11.2.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

解题步骤 11.2.2.4

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$16 - 9 x^{2} = - 160$

解题步骤 12

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

解题步骤 12.2

从 $- 160$ 中减去 $16$ 。

$- 9 x^{2} = - 176$

解题步骤 13

将 $- 9 x^{2} = - 176$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 13.1

将 $- 9 x^{2} = - 176$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

解题步骤 13.2

化简左边。

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解题步骤 13.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

解题步骤 13.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

解题步骤 13.3

化简右边。

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解题步骤 13.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{176}{9}$

解题步骤 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

解题步骤 15

化简 $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ 。

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解题步骤 15.1

将 $\sqrt{\frac{176}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 15.2

化简分子。

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解题步骤 15.2.1

将 $176$ 重写为 $4^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

从 $176$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 15.2.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 15.3

化简分母。

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解题步骤 15.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 15.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

解题步骤 16

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 16.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

解题步骤 16.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

解题步骤 16.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

解题步骤 17

排除不能使 $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ 成立的解。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

小数形式：

$x = 4.42216638 \dots$

初级微积分 示例

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