初级微积分示例

$\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (\frac{x - 9}{x + 5})$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 9}{x + 1} = \frac{x - 9}{x + 5}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

化简 $(x - 9) (x + 5)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

重写。

$0 + 0 + (x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 9) (x + 5)$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

运用分配律。

$x (x + 5) - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.3.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.3.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.4.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 5 \cdot x - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.4.1.3

将 $- 9$ 乘以 $5$ 。

$x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.1.4.2

从 $5 x$ 中减去 $9 x$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

解题步骤 4.2.2

化简 $(x + 1) (x - 9)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 9)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

运用分配律。

$x^{2} - 4 x - 45 = x (x - 9) + 1 (x - 9)$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用分配律。

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (x - 9)$

解题步骤 4.2.2.1.3

运用分配律。

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

解题步骤 4.2.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 9$

解题步骤 4.2.2.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 9$

解题步骤 4.2.2.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 9 x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

解题步骤 4.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.3.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} = - 8 x - 9$

解题步骤 4.2.3.2

在等式两边都加上 $8 x$ 。

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x = - 9$

解题步骤 4.2.3.3

合并 $x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.3.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 4 x - 45 + 0 + 8 x = - 9$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $- 4 x - 45$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x - 45 + 8 x = - 9$

解题步骤 4.2.3.4

将 $- 4 x$ 和 $8 x$ 相加。

$4 x - 45 = - 9$

解题步骤 4.2.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.4.1

在等式两边都加上 $45$ 。

$4 x = - 9 + 45$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 9$ 和 $45$ 相加。

$4 x = 36$

解题步骤 4.2.5

将 $4 x = 36$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $4 x = 36$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

解题步骤 4.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{36}{4}$

解题步骤 4.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.5.3.1

用 $36$ 除以 $4$ 。

$x = 9$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$ 成立的解。

$无解$

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