初级微积分示例

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x + 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$1, x + 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x + 1$

解题步骤 3.2

将 $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ 中的每一项乘以 $x + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ 中的每一项乘以 $x + 1$ 。

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去公因数。

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.2.3.1.2

重写表达式。

$x^{2} + x = 3 x + 1$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x^{2} + x - 3 x = 1$

解题步骤 3.3.1.2

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 2 x = 1$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5

化简。

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解题步骤 3.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ 成立的解。

$x = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 1 + \sqrt{2}$

小数形式：

$x = 2.41421356 \dots$

初级微积分 示例

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