初级微积分示例

$\ln (- x + 1) - \ln (3 x + 5) = \ln (- 6 x + 1)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{- x + 1}{3 x + 5}) = \ln (- 6 x + 1)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3 x + 5, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$3 x + 5, 1, 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$3 x + 5$

解题步骤 3.2

将 $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ 中的每一项乘以 $3 x + 5$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ 中的每一项乘以 $3 x + 5$ 。

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3 x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.2.1.2

重写表达式。

$- x + 1 = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$- x + 1 = - 6 x (3 x) - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $5$ 乘以 $- 6$ 。

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 30 x + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.4.1.1

移动 $x$ 。

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 (x \cdot x) - 30 x + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.4.2

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

解题步骤 3.2.3.1.5

将 $3 x + 5$ 乘以 $1$ 。

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 3 x + 5$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 30 x$ 和 $3 x$ 相加。

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 27 x + 5$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 = - x + 1$

解题步骤 3.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 + x = 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 27 x$ 和 $x$ 相加。

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 = 1$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 - 1 = 0$

解题步骤 3.3.4

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$- 18 x^{2} - 26 x + 4 = 0$

解题步骤 3.3.5

从 $- 18 x^{2} - 26 x + 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $- 18 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (9 x^{2}) - 26 x + 4 = 0$

解题步骤 3.3.5.2

从 $- 26 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) + 4 = 0$

解题步骤 3.3.5.3

从 $4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.3.5.4

从 $- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.3.5.5

从 $- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 (- 2)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3.6

将 $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 3.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.6.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 3.3.6.2.1.2

用 $9 x^{2} + 13 x - 2$ 除以 $1$ 。

$9 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 3.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.6.3.1

用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$9 x^{2} + 13 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.8

将 $a = 9$ 、 $b = 13$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.9

化简。

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解题步骤 3.3.9.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.9.1.1

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.9.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.9.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.9.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.9.1.3

将 $169$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.9.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{18}$

解题步骤 3.3.10

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

小数形式：

$x = 0.14023192 \dots, - 1.58467637 \dots$

初级微积分 示例

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