初级微积分示例

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 5) (x - 7)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

运用分配律。

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.1.2

运用分配律。

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- 14 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ 并且它们的和为 $b = - 9$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2

把 $- 9$ 重写为 $5$ 加 $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.3

运用分配律。

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 5$ 来因式分解多项式。

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

解题步骤 5

化简 $e^{0} (x^{2})$ 。

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解题步骤 5.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

解题步骤 5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 5) (x - 7)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

运用分配律。

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.2

运用分配律。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.3

运用分配律。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 14 x$ 和 $5 x$ 相加。

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

解题步骤 7

在等式两边都加上 $35$ 。

$x^{2} - 9 x = 35$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $35$ 。

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

解题步骤 9

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 10

将 $a = 1$ 、 $b = - 9$ 和 $c = - 35$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ 。

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解题步骤 11.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 35$ 。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.1.3

将 $81$ 和 $140$ 相加。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

解题步骤 12

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

解题步骤 13

排除不能使 $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ 成立的解。

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

小数形式：

$x = 11.93303437 \dots$

初级微积分 示例

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