初级微积分示例

$\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{1 - x}$ 。

$\sqrt{1 + x} = 2 - \sqrt{1 - x}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 + x}}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x}$ 重写成 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 + x)}^{1} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$1 + x = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ 重写为 $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ 。

$1 + x = (2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$1 + x = 2 (2 - \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + x = 4 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{1 - x}$ 乘以 $1$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{1 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} \sqrt{1 - x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{1 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} {\sqrt{1 - x}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{1 - x}}^{2}$ 重写为 $1 - x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.5

化简。

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 - x$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$1 + x = 5 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - x$

解题步骤 3.3.1.3.3

从 $- 2 \sqrt{1 - x}$ 中减去 $2 \sqrt{1 - x}$ 。

$1 + x = 5 - 4 \sqrt{1 - x} - x$

解题步骤 4

求解 $- 4 \sqrt{1 - x}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$ 。

$5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $- 4 \sqrt{1 - x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x - 5$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$- 4 \sqrt{1 - x} = 1 + x - 5 + x$

解题步骤 4.2.3

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$- 4 \sqrt{1 - x} = x - 4 + x$

解题步骤 4.2.4

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$- 4 \sqrt{1 - x} = 2 x - 4$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 4 \sqrt{1 - x})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 4)}^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$16 {(1 - x)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

$16 (1 - x) = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

运用分配律。

$16 \cdot 1 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

乘。

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解题步骤 6.2.1.6.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$16 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$16 - 16 x = {(2 x - 4)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(2 x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(2 x - 4)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 4) (2 x - 4)$ 。

$16 - 16 x = (2 x - 4) (2 x - 4)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 4) (2 x - 4)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$16 - 16 x = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$16 - 16 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

解题步骤 6.3.1.3.2

从 $- 8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 16 x + 16$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 - 16 x$

解题步骤 7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $16 x$ 。

$4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x = 16$

解题步骤 7.2.2

合并 $4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x$ 中相反的项。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 16 x$ 和 $16 x$ 相加。

$4 x^{2} + 0 + 16 = 16$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{2} + 16 = 16$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$4 x^{2} = 16 - 16$

解题步骤 7.3.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$4 x^{2} = 0$

解题步骤 7.4

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.4.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{4}$

解题步骤 7.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.6

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.6.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.6.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

初级微积分 示例

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