初级微积分示例

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

解题步骤 1

将 $\csc (x) = 16 \sin (x)$ 中的每一项除以 $\csc (x)$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (x) = 16 \sin (x)$ 中的每一项都除以 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\csc (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

分离分数。

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

解题步骤 1.3.4

化简。

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解题步骤 1.3.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.3.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.3.5

用 $16$ 除以 $1$ 。

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

将方程重写为 $16 \sin^{2} (x) = 1$ 。

$16 \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 3

将 $16 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $16 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

解题步骤 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

解题步骤 5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 5.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

解题步骤 6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 8

在 $\sin (x) = \frac{1}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1}{4})$ 。

$x = 0.25268025$

解题步骤 8.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

解题步骤 8.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

解题步骤 8.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

解题步骤 8.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.25268025$ 。

$x = 2.88891239$

解题步骤 8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

在 $\sin (x) = - \frac{1}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1}{4})$ 。

$x = - 0.25268025$

解题步骤 9.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

解题步骤 9.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.4.1

从 $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 9.4.2

得出的角 $3.3942729$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.3942729$

解题步骤 9.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 9.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.25268025$ 以求正角。

$- 0.25268025 + 2 π$

解题步骤 9.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.25268025$ 。

$6.03050505$

解题步骤 9.6.3

列出新角。

$x = 6.03050505$

解题步骤 9.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并解集。

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解题步骤 11.1

将 $0.25268025 + 2 π n$ 和 $3.3942729 + 2 π n$ 合并为 $0.25268025 + π n$ 。

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $2.88891239 + 2 π n$ 和 $6.03050505 + 2 π n$ 合并为 $2.88891239 + π n$ 。

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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