初级微积分示例

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2

合并 $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 3

从 $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $- 2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \sqrt{3} \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 3.3

从 $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 6.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.6.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 6.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 6.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 6.2.8.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.2.8.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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