初级微积分示例

$\cos (2 x) + \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2

合并 $2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) + 0 + \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $2 \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2

从 $2 \cos^{2} (x) + \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\cos^{1} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4

从 $\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\cos (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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