初级微积分示例

$64 x^{- 4} - 20 x^{- 2} + 1 = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$64 \frac{1}{x^{4}} - 20 x^{- 2} + 1 = 0$

解题步骤 1.2

组合 $64$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{64}{x^{4}} - 20 x^{- 2} + 1 = 0$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{64}{x^{4}} - 20 \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 1.4

组合 $- 20$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{64}{x^{4}} + \frac{- 20}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{64}{x^{4}} - \frac{20}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{4}, x^{2}, 1, 1$

解题步骤 2.2

Since $x^{4}, x^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{4}, x^{2}$ .

解题步骤 2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.5

$1, 1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 2.6

$x^{4}$ 的因数为 $x \cdot x \cdot x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $4$ 次。

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ 出现了 $4$ 次。

解题步骤 2.7

$x^{2}$ 的因数为 $x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $2$ 次。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 2.8

$x^{4}, x^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

解题步骤 2.9

化简 $x \cdot x \cdot x \cdot x$ 。

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解题步骤 2.9.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} \cdot x \cdot x$

解题步骤 2.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

解题步骤 2.9.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 1} \cdot x$

解题步骤 2.9.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} \cdot x$

解题步骤 2.9.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.3.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} \cdot x^{1}$

解题步骤 2.9.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 1}$

解题步骤 2.9.3.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4}$

解题步骤 3

将 $\frac{64}{x^{4}} - \frac{20}{x^{2}} + 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{4}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{64}{x^{4}} - \frac{20}{x^{2}} + 1 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{4}$ 。

$\frac{64}{x^{4}} x^{4} - \frac{20}{x^{2}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{64}{x^{4}} x^{4} - \frac{20}{x^{2}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$64 - \frac{20}{x^{2}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- \frac{20}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$64 + \frac{- 20}{x^{2}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$64 + \frac{- 20}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.2.3

约去公因数。

$64 + \frac{- 20}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.2.4

重写表达式。

$64 - 20 x^{2} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$64 - 20 x^{2} + x^{4} = 0 x^{4}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{4}$ 。

$64 - 20 x^{2} + x^{4} = 0$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 20 u + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $64$ ，和为 $- 20$ 。

$- 16, - 4$

解题步骤 4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u - 4) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 16 = 0$

$u - 4 = 0$

解题步骤 4.4

将 $u - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $u - 16$ 设为等于 $0$ 。

$u - 16 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$u = 16$

解题步骤 4.5

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(u - 16) (u - 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = 16, 4$

解题步骤 4.7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 16$

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 4.8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 16$

解题步骤 4.9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

解题步骤 4.9.2

化简 $\pm \sqrt{16}$ 。

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解题步骤 4.9.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 4.9.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 4$

解题步骤 4.9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4$

解题步骤 4.9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4$

解题步骤 4.9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4, - 4$

解题步骤 4.10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 4.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 4$

解题步骤 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 4.11.3

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 4.11.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.11.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 4.11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 4.11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 4.11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 4.12

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$ 的解是 $x = 4, - 4, 2, - 2$ 。

$x = 4, - 4, 2, - 2$

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