初级微积分示例

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}$

解题步骤 1.3

代入 $- 0.\overline{3}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.\overline{3}$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 0.\overline{3}$ 代入多项式。

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.2

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.3

将 $9$ 乘以 $- 0.\overline{037}$ 。

$- 0.\overline{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.4

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.\overline{3} - 12 \cdot 0.\overline{1} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 12$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$- 0.\overline{3} - 1.\overline{3} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.6

从 $- 0.\overline{3}$ 中减去 $1.\overline{3}$ 。

$- 1.\overline{6} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 1.3.7

将 $- 8$ 乘以 $- 0.\overline{3}$ 。

$- 1.\overline{6} + 2.\overline{6} - 1$

解题步骤 1.3.8

将 $- 1.\overline{6}$ 和 $2.\overline{6}$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 1.3.9

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 0.\overline{3}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1}{3 x + 1}$

解题步骤 1.5

用 $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 除以 $3 x + 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$8 x$

$1$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $9 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $9 x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 15 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 15 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x - 1$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{2} - 5 x - 1$

解题步骤 1.6

将 $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 书写为因数的集合。

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 4

将 $3 x^{2} - 5 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3 x^{2} - 5 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 3$ 、 $b = - 5$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $25$ 和 $12$ 相加。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

解题步骤 5

最终解为使 $(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

小数形式：

$x = - 0.\overline{3}, 1.84712708 \dots, - 0.18046042 \dots$

初级微积分 示例

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