初级微积分示例

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从 $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

解题步骤 1.1.3

从 ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

解题步骤 1.1.4

从 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

解题步骤 1.1.5

从 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}) = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

解题步骤 1.3

将 ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

解题步骤 1.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

解题步骤 1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $b = 3$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

解题步骤 1.6

将 ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 1.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2})) = 0$

解题步骤 1.8

因数。

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解题步骤 1.8.1

因数。

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解题步骤 1.8.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $b = 1$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1))) = 0$

解题步骤 1.8.1.2

去掉多余的括号。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) = 0$

解题步骤 1.8.2

去掉多余的括号。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

解题步骤 3

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

解题步骤 4.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简指数。

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解题步骤 4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1.1

化简 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

化简。

$x + 1 = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x + 1 = 9$

解题步骤 4.2.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = 9 - 1$

解题步骤 4.2.4.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$x = 8$

解题步骤 5

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 5.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.3

化简指数。

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解题步骤 5.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.3.1.1

化简 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

化简。

$x + 1 = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x + 1 = 1$

解题步骤 5.2.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = 1 - 1$

解题步骤 5.2.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

最终解为使 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 8, 0$

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