初级微积分示例

$\sin (x) \tan (x) = 5 \tan (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $5 \tan (x)$ 。

$\sin (x) \tan (x) - 5 \tan (x) = 0$

解题步骤 2

从 $\sin (x) \tan (x) - 5 \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\sin (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \sin (x) - 5 \tan (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 5 \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \sin (x) + \tan (x) \cdot - 5 = 0$

解题步骤 2.3

从 $\tan (x) \sin (x) + \tan (x) \cdot - 5$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\sin (x) - 5) = 0$

$\tan (x) (\sin (x) - 5) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

$π$

解题步骤 4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sin (x) - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x) - 5$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$\sin (x) = 5$

解题步骤 5.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $5$ 不在该值域内，所以无解。

无解

无解

无解

解题步骤 6

最终解为使 $\tan (x) (\sin (x) - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$