初级微积分示例

$\sec (x) \csc (x) = 2 \sec (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 \sec (x)$ 。

$\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x) = 0$

解题步骤 2

从 $\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- 2 \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2

从 $\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 4

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 4.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 5

将 $\csc (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\csc (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\csc (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\csc (x) = 2$

解题步骤 5.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (2)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$arccsc (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.4

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.5

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 5.2.5.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.2.6

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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