初级微积分示例

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ 。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

解题步骤 2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

解题步骤 4.2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u + u^{- 1} = 2 y$

解题步骤 4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

解题步骤 4.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 4.4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 4.4.2

将 $u + \frac{1}{u} = 2 y$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $u + \frac{1}{u} = 2 y$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

解题步骤 4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

解题步骤 4.4.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

解题步骤 4.4.2.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + 1 = 2 y u$

解题步骤 4.4.3

求解方程。

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解题步骤 4.4.3.1

从等式两边同时减去 $2 y u$ 。

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

解题步骤 4.4.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4.3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4

化简。

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解题步骤 4.4.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.4.3.4.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot 1$ 重写为 ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 2 y$ 和 $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3

化简。

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解题步骤 4.4.3.4.1.3.1

从 $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.4.3.4.1.3.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.1.2

从 $2 \cdot 1 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.1.3

从 $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 4.4.3.4.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.4

从 $- 2 y - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.4.3.4.1.4.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.4.3

从 $2 (- y) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.6

将 $4 (- y + 1) (- y - 1)$ 重写为 $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ 。

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解题步骤 4.4.3.4.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.6.3

添加圆括号。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.7

从根式下提出各项。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.1.8

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

解题步骤 4.4.3.4.3

化简 $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ 。

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

解题步骤 4.4.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

解题步骤 4.5

代入 $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

解题步骤 4.6

求解 $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将方程重写为 $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 。

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

解题步骤 4.6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.6.3

展开左边。

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解题步骤 4.6.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.6.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.6.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.7

代入 $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

解题步骤 4.8

求解 $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ 。

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解题步骤 4.8.1

将方程重写为 $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 。

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

解题步骤 4.8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.8.3

展开左边。

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解题步骤 4.8.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.8.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.8.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

解题步骤 4.9

列出使方程成立的解。

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

初级微积分 示例

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