初级微积分示例

$x - 7 \sqrt{x} + 12 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $- 7 \sqrt{x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- 7 \sqrt{x} + 12 = - x$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$- 7 \sqrt{x} = - x - 12$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 7 \sqrt{x})}^{2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 7 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(- 7 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 7)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$49 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.2.1

约去公因数。

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2.2

重写表达式。

$49 x^{1} = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.4

化简。

$49 x = {(- x - 12)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(- x - 12)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(- x - 12)}^{2}$ 重写为 $(- x - 12) (- x - 12)$ 。

$49 x = (- x - 12) (- x - 12)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 12) (- x - 12)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$49 x = - x (- x - 12) - 12 (- x - 12)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$49 x = - x (- x) - x \cdot - 12 - 12 (- x - 12)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$49 x = - x (- x) - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$49 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$49 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$49 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$49 x = 1 x^{2} - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$49 x = x^{2} - x \cdot - 12 - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$49 x = x^{2} + 12 x - 12 (- x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$49 x = x^{2} + 12 x + 12 x - 12 \cdot - 12$

解题步骤 3.3.1.3.1.7

将 $- 12$ 乘以 $- 12$ 。

$49 x = x^{2} + 12 x + 12 x + 144$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$49 x = x^{2} + 24 x + 144$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 24 x + 144 = 49 x$

解题步骤 4.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $49 x$ 。

$x^{2} + 24 x + 144 - 49 x = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $24 x$ 中减去 $49 x$ 。

$x^{2} - 25 x + 144 = 0$

解题步骤 4.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 25 x + 144$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $144$ ，和为 $- 25$ 。

$- 16, - 9$

解题步骤 4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 16) (x - 9) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 16 = 0$

$x - 9 = 0$

解题步骤 4.5

将 $x - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x - 16$ 设为等于 $0$ 。

$x - 16 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$x = 16$

解题步骤 4.6

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 4.7

最终解为使 $(x - 16) (x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 16, 9$

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