初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 8 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 2.1.2.3

重写多项式。

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.5

最终解为使 $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = 0$ ( $2$ 的倍数)

$x = 4$ ( $2$ 的倍数)

$x = 0$ ( $2$ 的倍数)

$x = 4$ ( $2$ 的倍数)

解题步骤 3

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