初级微积分示例

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 6 x^{2} - 27$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 6 u - 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 27$ ，和为 $6$ 。

$- 3, 9$

解题步骤 2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 9) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

解题步骤 2.4

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 2.5

将 $u + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $u + 9$ 设为等于 $0$ 。

$u + 9 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$u = - 9$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(u - 3) (u + 9) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$u = 3$ ( $1$ 的倍数)

$u = - 9$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 2.7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 3$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.9.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.9.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 2.9.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.9.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2.9.3

根的重数就是根出现的次数。例如， ${(x + 5)}^{3}$ 的因式在 $x = - 5$ 中有一个重数为 $3$ 的根。

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 的倍数)

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 9$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 2.11.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 2.11.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 2.11.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 2.11.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.11.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 2.11.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 2.11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 2.11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 2.11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 2.11.5

根的重数就是根出现的次数。例如， ${(x + 5)}^{3}$ 的因式在 $x = - 5$ 中有一个重数为 $3$ 的根。

$x = 3 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 3 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 3 i$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 3 i$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 2.12

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ 。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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