初级微积分示例

$y = 7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$

解题步骤 1

将 $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 7$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}$

解题步骤 2.1.3

代入 $0.\overline{142857}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.\overline{142857}$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

将 $0.\overline{142857}$ 代入多项式。

$7 \cdot {0.\overline{142857}}^{3} - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.2

对 $0.\overline{142857}$ 进行 $3$ 次方运算。

$7 \cdot 0.00291545 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.3

将 $7$ 乘以 $0.00291545$ 。

$0.02040816 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.4

对 $0.\overline{142857}$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.02040816 - 15 \cdot 0.02040816 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 15$ 乘以 $0.02040816$ 。

$0.02040816 - 0.30612244 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.6

从 $0.02040816$ 中减去 $0.30612244$ 。

$- 0.28571428 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

解题步骤 2.1.3.7

将 $23$ 乘以 $0.\overline{142857}$ 。

$- 0.28571428 + 3.28571428 - 3$

解题步骤 2.1.3.8

将 $- 0.28571428$ 和 $3.28571428$ 相加。

$3 - 3$

解题步骤 2.1.3.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $0.\overline{142857}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $7 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3}{7 x - 1}$

解题步骤 2.1.5

用 $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ 除以 $7 x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$7 x$

$1$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$23 x$

$3$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			+	$7 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 14 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 14 x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $21 x$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							+	$21 x$	-	$3$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $21 x - 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x + 3$

解题步骤 2.1.6

将 $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ 书写为因数的集合。

$(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $7 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $7 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$7 x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $7 x - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$7 x = 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $7 x = 1$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

将 $7 x = 1$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{7}$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 2 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 2 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.3.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.5.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = \frac{1}{7}$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 + i \sqrt{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 - i \sqrt{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = \frac{1}{7}$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 + i \sqrt{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 - i \sqrt{2}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例