初级微积分示例

$f (x) = 7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$

解题步骤 1

将 $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 0.\overline{714285}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.\overline{714285}$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 0.\overline{714285}$ 代入多项式。

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 0.\overline{714285}$ 进行 $3$ 次方运算。

$7 \cdot - 0.36443148 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.3

将 $7$ 乘以 $- 0.36443148$ 。

$- 2.5510204 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.4

对 $- 0.\overline{714285}$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2.5510204 + 12 \cdot 0.51020408 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.5

将 $12$ 乘以 $0.51020408$ 。

$- 2.5510204 + 6.12244897 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 2.5510204$ 和 $6.12244897$ 相加。

$3.\overline{571428} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 0.\overline{714285}$ 。

$3.\overline{571428} + 1.\overline{428571} - 5$

解题步骤 2.1.3.8

将 $3.\overline{571428}$ 和 $1.\overline{428571}$ 相加。

$5 - 5$

解题步骤 2.1.3.9

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 0.\overline{714285}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $7 x + 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5}{7 x + 5}$

解题步骤 2.1.5

用 $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 除以 $7 x + 5$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x$

$5$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{3} + 5 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{2} + 5 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 7 x$ 除以除数中的最高阶项 $7 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							-	$7 x$	-	$5$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x - 5$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x - 1$

解题步骤 2.1.6

将 $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 书写为因数的集合。

$(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 x + 5 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $7 x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $7 x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$7 x + 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $7 x + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$7 x = - 5$

解题步骤 2.3.2.2

将 $7 x = - 5$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $7 x = - 5$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{7}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5}{7}$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} + x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} + x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.5

从 $\sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.5

从 $- \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.6

从 $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = - \frac{5}{7}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{5}{7}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

初级微积分 示例

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