初级微积分示例

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $7 x^{3} - 28 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $7 x^{3}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 28 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 10$ 。

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解题步骤 2.1.7.1.1

从 $- 10 u$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7.1.2

把 $- 10$ 重写为 $2$ 加 $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7.1.3

运用分配律。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 2$ 来因式分解多项式。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.10

因数。

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解题步骤 2.1.10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

去掉多余的括号。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $7 x (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.1.11.3

从 $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1

重新排序项。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 2.1.13.2.1

从 $7 u$ 中分解出因数 $7$ 。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.2.2

把 $7$ 重写为 $1$ 加 $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.2.3

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.2.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.13.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

解题步骤 2.1.13.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.13.4

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.15

合并指数。

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解题步骤 2.1.15.1

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

解题步骤 2.1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

解题步骤 2.1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 2.5.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = - 2$ ( $2$ 的倍数)

$x = 2$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1}{3}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 2$ ( $2$ 的倍数)

$x = 2$ ( $1$ 的倍数)

$x = - \frac{1}{3}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

初级微积分 示例

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