初级微积分示例

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 25$

$b = 15$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $25$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{625 - {(15)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{625 - 1 \cdot 225}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $225$ 。

$\sqrt{625 - 225}$

解题步骤 5.3.4

从 $625$ 中减去 $225$ 。

$\sqrt{400}$

解题步骤 5.3.5

将 $400$ 重写为 $20^{2}$ 。

$\sqrt{20^{2}}$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$20$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 25)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 25)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (25))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 25)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 20)$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, 20)$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (20))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - 20)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}}{25}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $25$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{625 - 15^{2}}}{25}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{625 - 1 \cdot 225}}{25}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $225$ 。

$\frac{\sqrt{625 - 225}}{25}$

解题步骤 8.3.1.4

从 $625$ 中减去 $225$ 。

$\frac{\sqrt{400}}{25}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $400$ 重写为 $20^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{25}$

解题步骤 8.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{20}{25}$

解题步骤 8.3.2

约去 $20$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (4)}{25}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

离心率： $\frac{4}{5}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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