初级微积分示例

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $3 (1 - \cos (- θ))$ 。

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解题步骤 1.1.1

因为 $\cos (- θ)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- θ)$ 重写成 $\cos (θ)$ 。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

解题步骤 1.1.3

乘。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $3 \cos (θ)$ 。

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 3

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ 替换 $2 \sin^{2} (θ)$ 。

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

解题步骤 6

重新排列多项式。

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 7

代入 $u$ 替换 $\cos (θ)$ 。

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

从 $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 8.1.1

从 $- 2 u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

解题步骤 8.1.2

从 $3 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

解题步骤 8.1.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 8.1.4

从 $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 8.1.5

从 $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

解题步骤 8.2

因数。

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解题步骤 8.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 8.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.2

把 $- 3$ 重写为 $- 1$ 加 $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.3

运用分配律。

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

解题步骤 8.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

解题步骤 8.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 10

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 10.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 10.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 11

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 11.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 12

最终解为使 $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 13

代入 $\cos (θ)$ 替换 $u$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 14

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

解题步骤 15

在 $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 15.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 15.2

化简右边。

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解题步骤 15.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 15.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 15.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4.2

合并分数。

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解题步骤 15.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 15.4.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 15.4.3

化简分子。

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解题步骤 15.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 15.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 15.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 15.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 15.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 15.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 15.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 15.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

在 $\cos (θ) = 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 16.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (1)$

解题步骤 16.2

化简右边。

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解题步骤 16.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 16.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - 0$

解题步骤 16.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$θ = 2 π$

解题步骤 16.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 16.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

列出所有解。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 18

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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