初级微积分示例

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $8 e^{- x}$ 。

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

解题步骤 2

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

解题步骤 4.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 1, u, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 5.2

将 $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $- \frac{8}{u}$ 中前置负号移到分子中。

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

解题步骤 5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $0$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 5.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 4) = 0$

解题步骤 5.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 5.3.4

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 。

$u + 4 = 0$

解题步骤 5.3.4.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$u = - 4$

解题步骤 5.3.5

最终解为使 $(u - 2) (u + 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - 4$

解题步骤 6

代入 $2$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $2 = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = 2$ 。

$e^{x} = 2$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 7.3

展开左边。

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解题步骤 7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (2)$

解题步骤 7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

解题步骤 7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (2)$

解题步骤 8

代入 $- 4$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 4 = e^{x}$

解题步骤 9

求解 $- 4 = e^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $e^{x} = - 4$ 。

$e^{x} = - 4$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

解题步骤 9.3

因为 $\ln (- 4)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 9.4

$e^{x} = - 4$ 无解

无解

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = \ln (2)$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (2)$

小数形式：

$x = 0.69314718 \dots$

初级微积分 示例

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