初级微积分示例

$f (x) = - \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) {(x + 1)}^{2} (x - 2^{2}))$

解题步骤 1

化简并重新排序多项式。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) ((x + 1) (x + 1)) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x^{2} + x + x + 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x^{2} + 2 x + 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + 4) (x^{2} + 2 x + 1)$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5

化简项。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 x^{2} + x + 4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 x^{2} + x + 4 x^{2} + 8 x + 4 \cdot 1) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 2 x^{2} + x + 4 x^{2} + 8 x + 4) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 6 x^{2} + x + 8 x + 4) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.2.2

将 $x$ 和 $8 x$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4) (x - 2^{2}))$

解题步骤 1.5.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4) (x - 1 \cdot 4))$

解题步骤 1.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot ((x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4) (x - 4))$

解题步骤 1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 4) (x - 4)$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{3} x + x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7

化简项。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} + x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.2

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 \cdot x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 4 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2} + 9 x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.6

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2} - 36 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.7.1.7

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2} - 36 x + 4 x - 16)$

解题步骤 1.7.2

化简项。

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解题步骤 1.7.2.1

将 $- 4 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2} - 36 x + 4 x - 16)$

解题步骤 1.7.2.2

将 $- 24 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x + 4 x - 16)$

解题步骤 1.7.2.3

将 $- 36 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 15 x^{2} - 32 x - 16)$

解题步骤 1.7.2.4

运用分配律。

$- \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{4} (2 x^{3}) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 x^{3}) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.2.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- 1}{4} (2 x^{3}) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x^{3}) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.2.3

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x^{3})) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.2.4

约去公因数。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x^{3}) - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.2.5

重写表达式。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.3

组合 $\frac{- 1}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} - \frac{1}{4} (- 15 x^{2}) - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.4

乘以 $- \frac{1}{4} (- 15 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.8.4.1

将 $- 15$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + 15 (\frac{1}{4}) x^{2} - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.4.2

组合 $15$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15}{4} x^{2} - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.4.3

组合 $\frac{15}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} - \frac{1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.5.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (- 32 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.5.2

从 $- 32 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (4 (- 8 x)) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.5.3

约去公因数。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (4 (- 8 x)) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.5.4

重写表达式。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} - 1 (- 8 x) - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.6

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x - \frac{1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.7.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x + \frac{- 1}{4} \cdot - 16$

解题步骤 1.8.7.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 4))$

解题步骤 1.8.7.3

约去公因数。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.8.7.4

重写表达式。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x - 1 \cdot - 4$

解题步骤 1.8.8

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{- x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x + 4$

解题步骤 1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{15 x^{2}}{4} + 8 x + 4$

解题步骤 2

最大的指数是多项式的次数。

$4$

初级微积分 示例

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