初级微积分示例

$2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

解题步骤 3

代入 $1.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $1.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {1.5}^{3} + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

解题步骤 3.2

对 $1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 3.375 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $3.375$ 。

$6.75 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

解题步骤 3.4

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$6.75 + 2.25 + 4 \cdot 1.5 - 15$

解题步骤 3.5

将 $6.75$ 和 $2.25$ 相加。

$9 + 4 \cdot 1.5 - 15$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $1.5$ 。

$9 + 6 - 15$

解题步骤 3.7

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$15 - 15$

解题步骤 3.8

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $1.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15}{2 x - 3}$

解题步骤 5

用 $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ 除以 $2 x - 3$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$15$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} - 6 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $10 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							+	$10 x$	-	$15$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x - 15$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 2 x + 5$

解题步骤 6

将 $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 5)$

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