初级微积分示例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

解题步骤 1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 3 \cdot 4 - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$16 - 12 - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.6

从 $16$ 中减去 $12$ 。

$4 - 17 \cdot 2 + 30$

解题步骤 1.3.7

将 $- 17$ 乘以 $2$ 。

$4 - 34 + 30$

解题步骤 1.3.8

从 $4$ 中减去 $34$ 。

$- 30 + 30$

解题步骤 1.3.9

将 $- 30$ 和 $30$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30}{x - 2}$

解题步骤 1.5

用 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 除以 $x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$30$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 15 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 15 x + 30$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + x - 15$

解题步骤 1.6

将 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (2 x^{2} + x - 15)$

解题步骤 2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$(x - 2) (2 x^{2} + 1 x - 15)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 5$ 加 $6$

$(x - 2) (2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 2) (2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 2) (x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 5$ 来因式分解多项式。

$(x - 2) ((2 x - 5) (x + 3))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (2 x - 5) (x + 3)$

初级微积分 示例

初级微积分示例