初级微积分示例

$x^{3} - 4 x + 3$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3$

解题步骤 3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 4 \cdot 1 + 3$

解题步骤 3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 4 \cdot 1 + 3$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 + 3$

解题步骤 3.4

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3 + 3$

解题步骤 3.5

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$0$

解题步骤 4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 4 x + 3}{x - 1}$

解题步骤 5

用 $x^{3} - 4 x + 3$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x + 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x - 3$

解题步骤 6

将 $x^{3} - 4 x + 3$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (x^{2} + x - 3)$

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