初级微积分示例

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

解题步骤 1

重新组合项。

$3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

解题步骤 2

从 $3 x^{3} - 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2} (x) - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

解题步骤 2.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1) + x^{4} + 3 x - 4$

解题步骤 2.3

从 $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1)$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 3 x - 4$

解题步骤 3

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} + 3 x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 3.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{4} + 3 \cdot 1 - 4$

解题步骤 3.3.2

对 $1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 - 4$

解题步骤 3.3.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4 - 4$

解题步骤 3.3.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} + 3 x - 4}{x - 1}$

解题步骤 3.5

用 $x^{4} + 3 x - 4$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

解题步骤 3.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

解题步骤 3.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 3.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 3.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

解题步骤 3.5.12

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

解题步骤 3.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

解题步骤 3.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

解题步骤 3.5.17

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

解题步骤 3.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

解题步骤 3.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 4$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

解题步骤 3.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

解题步骤 3.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + x^{2} + x + 4$

解题步骤 3.6

将 $x^{4} + 3 x - 4$ 书写为因数的集合。

$3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

解题步骤 4

从 $3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $3 x^{2} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

解题步骤 4.2

从 $(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (3 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 4)$

解题步骤 5

将 $3 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$(x - 1) (x^{3} + 4 x^{2} + x + 4)$

解题步骤 6

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} + 4 x^{2} + x + 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) ((x^{3} + 4 x^{2}) + x + 4)$

解题步骤 6.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) (x^{2} (x + 4) + 1 (x + 4))$

解题步骤 6.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x + 4$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) ((x + 4) (x^{2} + 1))$

解题步骤 6.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$

初级微积分 示例

初级微积分示例