初级微积分示例

$\frac{3}{x + 6} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 1

要将 $\frac{3}{x + 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ 。

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 2

要将 $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 。

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 6) (x^{2} - 36)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3}{x + 6}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ 乘以 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x^{2} - 36) (x + 6)} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(x^{2} - 36) (x + 6)$ 的因式。

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 5

要将 $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 6}{x - 6}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6}$

解题步骤 6

要将 $- \frac{20}{x - 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ 的形式。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ 乘以 $\frac{x - 6}{x - 6}$ 。

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{20}{x - 6}$ 乘以 $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ 。

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

解题步骤 7.3

重新排序 $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ 的因式。

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

解题步骤 7.4

重新排序 $(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))$ 的因式。

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9

以因式分解的形式重写 $\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

运用分配律。

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 36 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.1.5

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.2

将 $3 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6)$ 。

$\frac{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{9 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.2

将 $- 6$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.3

将 $- 108$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 (x \cdot x) + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.4.5

将 $- 6$ 乘以 $36$ 。

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.5

将 $- 54 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 108 x + 648 - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.6

从 $- 108 x$ 中减去 $216 x$ 。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (x^{2} - 36)$ 。

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解题步骤 9.7.1

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x (x^{2} - 36) + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.7.2

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.7.3

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.8

化简每一项。

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解题步骤 9.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1} x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1 + 2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.8.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.8.2

将 $- 36$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.8.3

将 $6$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.9

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} - 20 (- 36 x) - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.10

化简。

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解题步骤 9.10.1

将 $- 36$ 乘以 $- 20$ 。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.10.2

将 $6$ 乘以 $- 20$ 。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.10.3

将 $- 20$ 乘以 $- 216$ 。

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.11

从 $9 x^{3}$ 中减去 $20 x^{3}$ 。

$\frac{- 11 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.12

从 $- 18 x^{2}$ 中减去 $120 x^{2}$ 。

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.13

将 $- 324 x$ 和 $720 x$ 相加。

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 648 + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.14

将 $648$ 和 $4320$ 相加。

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15

以因式分解的形式重写 $- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968$ 。

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解题步骤 9.15.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.15.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 11 x^{3} - 138 x^{2}) + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{2} (- 11 x - 138) - 36 (- 11 x - 138)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15.2

通过因式分解出最大公因数 $- 11 x - 138$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 6^{2})}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15.4

因数。

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解题步骤 9.15.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{(- 11 x - 138) ((x + 6) (x - 6))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.15.4.2

去掉多余的括号。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

解题步骤 9.16

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 6^{2})}$

解题步骤 9.17

因数。

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解题步骤 9.17.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

解题步骤 9.17.2

去掉多余的括号。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 9.18

合并指数。

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解题步骤 9.18.1

对 $x + 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6) (x - 6)}$

解题步骤 9.18.2

对 $x + 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6) (x - 6)}$

解题步骤 9.18.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6) (x - 6)}$

解题步骤 9.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6) (x - 6)}$

解题步骤 9.18.5

对 $x - 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} (x - 6))}$

解题步骤 9.18.6

对 $x - 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})}$

解题步骤 9.18.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.18.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.19

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$ 。

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解题步骤 9.19.1

从 $(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)$ 中分解出因数 $x + 6$ 。

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.19.2

从 ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 6$ 。

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

解题步骤 9.19.3

约去公因数。

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

解题步骤 9.19.4

重写表达式。

$\frac{(- 11 x - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 10

从 $- 11 x - 138$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 10.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (11 x) - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $- 138$ 重写为 $- 1 (138)$ 。

$\frac{(- (11 x) - 1 (138)) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 10.3

从 $- (11 x) - 1 (138)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 11

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$ 。

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解题步骤 11.1

从 $- (11 x + 138) (x - 6)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 11.2

从 $(x + 6) {(x - 6)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

解题步骤 11.3

约去公因数。

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

解题步骤 11.4

重写表达式。

$\frac{- (11 x + 138)}{(x + 6) (x - 6)}$

初级微积分 示例

初级微积分示例