初级微积分示例

$\cos^{2} (\frac{π}{8}) - \sin^{2} (\frac{π}{8})$

解题步骤 1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (\frac{π}{8})$ 和 $b = \sin (\frac{π}{8})$ 。

$(\cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$(\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$(\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.2

在公分母上合并分子。

$(\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.6

化简分母。

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解题步骤 2.1.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.1.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.2

使用正弦半角公式。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.3

在公分母上合并分子。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.7

化简分母。

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解题步骤 2.2.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.2.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.6

化简分母。

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解题步骤 2.4.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.4.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 2.5

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

解题步骤 2.5.2

使用正弦半角公式。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

解题步骤 2.5.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 2.5.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 2.5.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 2.5.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 2.5.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.5.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

解题步骤 2.5.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

解题步骤 2.5.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

解题步骤 2.5.4.7

化简分母。

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解题步骤 2.5.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

解题步骤 2.5.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

初级微积分 示例

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