初级微积分示例

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 1

运用分配律。

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 3

将 $- 2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.2

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

解题步骤 5.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

解题步骤 5.3

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

解题步骤 6

以因式分解的形式重写 $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ 。

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解题步骤 6.1

从 $x^{4} - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

解题步骤 6.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

解题步骤 6.1.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

解题步骤 6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

解题步骤 6.3

因数。

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解题步骤 6.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

解题步骤 6.3.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

解题步骤 6.4

从 $3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

解题步骤 6.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

解题步骤 6.4.3

从 $3 x + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

解题步骤 6.5

从 $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

解题步骤 6.5.2

从 $3 (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

解题步骤 6.5.3

从 $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

解题步骤 6.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

解题步骤 6.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

解题步骤 6.8

将 $- 2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

解题步骤 6.9

因数。

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解题步骤 6.9.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 6.9.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 6.9.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3$

解题步骤 6.9.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 6.9.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

解题步骤 6.9.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

解题步骤 6.9.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

解题步骤 6.9.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 2 + 3$

解题步骤 6.9.1.3.5

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- 3 + 3$

解题步骤 6.9.1.3.6

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$0$

解题步骤 6.9.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

解题步骤 6.9.1.5

用 $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 6.9.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

解题步骤 6.9.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

解题步骤 6.9.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 6.9.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 6.9.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

解题步骤 6.9.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 6.9.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 6.9.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 6.9.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 6.9.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

解题步骤 6.9.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

解题步骤 6.9.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

解题步骤 6.9.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

解题步骤 6.9.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x + 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

解题步骤 6.9.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

解题步骤 6.9.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 3 x + 3$

解题步骤 6.9.1.6

将 $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

解题步骤 6.9.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$

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