初级微积分示例

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\csc^{2} (x) = 1$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\csc (x) = \pm 1$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (x) = 1$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (x) = - 1$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (x) = 1, - 1$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

解题步骤 6

在 $\csc (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (1)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$arccsc (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.4

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 6.4.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\csc (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$arccsc (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 7.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 7.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.6.3

合并分数。

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解题步骤 7.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.6.4

化简分子。

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解题步骤 7.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

求在区间 $(0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 10.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + π (0)$

解题步骤 10.1.2

化简。

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解题步骤 10.1.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} + 0$

解题步骤 10.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 10.1.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.2

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 10.2.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + π (1)$

解题步骤 10.2.2

化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{2} + π$

解题步骤 10.2.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.2.2.3

合并分数。

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解题步骤 10.2.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 10.2.2.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

解题步骤 10.2.2.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.2.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{3 π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

初级微积分 示例

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