初级微积分示例

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $\frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ 运用乘积法则。

$x^{2} + y^{2} = \frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} + y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2} - x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ 和 $b = x$ 。

$y = \pm \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

解题步骤 4

要重写成 $x$ 的函数，请将方程写成等号的一边只有 $y$ ，而另一边只有 $x$ 的形式。

$f (x) = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}, - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

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