初级微积分示例

$10 x^{2} - 4 x y + 6 y^{2} - 8 x + 8 y = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = 6$ 、 $b = - 4 x + 8$ 和 $c = 10 x^{2} - 8 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (- 4 x + 8) \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5

使 $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

将 ${(- 4 x + 8)}^{2}$ 重写为 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

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解题步骤 3.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.4

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.5

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.1.6

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.5.3.2

从 $- 32 x$ 中减去 $32 x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6

从 $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $- 64 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.3

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.5

从 $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.6

从 $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.6.7

从 $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.7

使用 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8

化简。

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解题步骤 3.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.1.2

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.1.3

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.1.4

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.1.5

将 $60$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.1.6

将 $- 48$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $60 x^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.8.3

将 $- 16 x$ 和 $48 x$ 相加。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.9

从 $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

从 $- 56 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.9.2

从 $32 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.9.3

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.9.4

从 $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.9.5

从 $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.10

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.11

将 $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ 。

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解题步骤 3.1.11.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.11.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.11.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.11.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.12

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5

使 $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

将 ${(- 4 x + 8)}^{2}$ 重写为 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.4

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.5

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.1.6

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.5.3.2

从 $- 32 x$ 中减去 $32 x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6

从 $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.2

从 $- 64 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.3

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.5

从 $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.6

从 $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.6.7

从 $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.7

使用 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8

化简。

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解题步骤 4.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.1.2

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.1.3

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.1.4

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.1.5

将 $60$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.1.6

将 $- 48$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $60 x^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.8.3

将 $- 16 x$ 和 $48 x$ 相加。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.9

从 $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $- 56 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $32 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.10

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.11

将 $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ 。

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解题步骤 4.1.11.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.11.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.11.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.11.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.12

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{4 x - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4.4

约去 $4 x - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x) - 8 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x) + 4 \cdot - 2 + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4.4.3

从 $4 (x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 4.4.4

从 $4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 (\sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

解题步骤 4.4.5

从 $4 (x - 2) + 4 (\sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

解题步骤 4.4.6

约去公因数。

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解题步骤 4.4.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 (3)}$

解题步骤 4.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{4 (x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(- 4 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5

使 $u = 6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

将 ${(- 4 x + 8)}^{2}$ 重写为 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{(- 4 x + 8) (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x + 8) (- 4 x + 8)$ 。

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解题步骤 5.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x + 8) + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x \cdot x) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 x^{2}) - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 4 x \cdot 8 + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.4

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.5

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.1.6

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 32 x - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.5.3.2

从 $- 32 x$ 中减去 $32 x$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6

从 $16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) - 64 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $- 64 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.3

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.5

从 $4 (4 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.6

从 $4 (4 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.6.7

从 $4 (4 x^{2} - 16 x + 16) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - u)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.7

使用 $6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 \cdot (10 x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8

化简。

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解题步骤 5.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (6 (10 x^{2}) + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.1.2

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} + 6 (- 8 x)))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.1.3

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2} - 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.1.4

运用分配律。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - (60 x^{2}) - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.1.5

将 $60$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} - (- 48 x))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.1.6

将 $- 48$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (4 x^{2} - 16 x + 16 - 60 x^{2} + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $60 x^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} - 16 x + 16 + 48 x)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.8.3

将 $- 16 x$ 和 $48 x$ 相加。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 56 x^{2} + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9

从 $- 56 x^{2} + 32 x + 16$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $- 56 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 32 x + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $32 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 16)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9.3

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9.4

从 $8 (- 7 x^{2}) + 8 (4 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $8 (- 7 x^{2} + 4 x) + 8 (2)$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot (8 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.10

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.11

将 $32 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))$ 。

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解题步骤 5.1.11.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{16 (2) (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.11.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.11.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.11.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 x - 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2))}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.12

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{4 x - 8 \pm 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{4 x - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 5.4

约去 $4 x - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x) - 8 - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 5.4.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x) + 4 (- 2) - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 5.4.3

从 $4 (x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2) - 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{12}$

解题步骤 5.4.4

从 $- 4 \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2) + 4 (- \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

解题步骤 5.4.5

从 $4 (x - 2) + 4 (- \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{12}$

解题步骤 5.4.6

约去公因数。

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解题步骤 5.4.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 (3)}$

解题步骤 5.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{4 (x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)})}{4 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{x - 2 + \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

$y = \frac{x - 2 - \sqrt{2 (- 7 x^{2} + 4 x + 2)}}{3}$

初级微积分 示例

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