初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$ 无定义。

$x = 4$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$\frac{3 x^{2} - 11 (x) - 4}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.1.2

把 $- 11$ 重写为 $1$ 加 $- 12$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{x - 4}$

解题步骤 6.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

解题步骤 6.1.2

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

约去公因数。

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

解题步骤 6.1.2.2

用 $3 x + 1$ 除以 $1$ 。

$3 x + 1$

解题步骤 6.2

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x + 1$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x + 1$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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