初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ 无定义。

$x = 0, x = 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

解题步骤 6.1.2.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $x - 1$ 和 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

解题步骤 6.1.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

解题步骤 6.1.2.2.3

从 $- 1 (- x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

解题步骤 6.1.2.2.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

解题步骤 6.1.2.2.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

解题步骤 6.1.2.2.6

重写表达式。

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

解题步骤 6.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

解题步骤 6.2

展开 $- (x^{2} + x + 1)$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $x^{2} + x + 1$ 取反。

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

解题步骤 6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 0$ 中的所有符号

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

解题步骤 6.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.14

将解分解成多项式部分和余项。

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

解题步骤 6.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - x - 1$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - x - 1$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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