初级微积分示例

$f (x) = \tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$

解题步骤 1

化简 $\tan (\frac{1}{2} \cdot (x + \frac{π}{6}))$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$y = \tan (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6})$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{2 \cdot 6})$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$

解题步骤 2

对于任意 $y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \tan (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求 $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的垂直渐近线。将 $y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 3.1.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 3.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 3.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 6 - π}{12}$

解题步骤 3.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 6 π - π}{12}$

解题步骤 3.1.5.2

从 $- 6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{- 7 π}{12}$

解题步骤 3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{2} = - \frac{7 π}{12}$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{7 π}{12})$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (- \frac{7 π}{12})$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $2 (- \frac{7 π}{12})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

将 $- \frac{7 π}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$x = 2 \frac{- 7 π}{12}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 (6)}$

解题步骤 3.3.2.1.1.3

约去公因数。

$x = 2 \frac{- 7 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{- 7 π}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7 π}{6}$

解题步骤 4

使正切函数内的 $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ 等于 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{12} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 5.1.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 5.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 5.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 6 - π}{12}$

解题步骤 5.1.5

化简分子。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{6 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 5.1.5.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 5.3.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的基期将出现在 $(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$ ，其中 $- \frac{7 π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{6})$

解题步骤 7

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 7.1

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 7.3

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 8

$y = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{7 π}{6}$ 、 $\frac{5 π}{6}$ 以及每一处 $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$

解题步骤 9

正切只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 10

初级微积分 示例

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