初级微积分示例

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

解题步骤 1

将方程重写为 $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ 。

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

解题步骤 2

使用乘法的交换性质重写。

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $4$ 。

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 4

将 ${(x - h)}^{2}$ 重写为 $(x - h) (x - h)$ 。

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(x - h) (x - h)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.4

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

移动 $h$ 。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.4.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.1.6

将 $h^{2}$ 乘以 $1$ 。

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.2

从 $- x h$ 中减去 $h x$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $x$ 。

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 6.2.2

从 $- h x$ 中减去 $h x$ 。

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 7

运用分配律。

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 8

使用乘法的交换性质重写。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

解题步骤 9

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

解题步骤 10

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 11

将 $a = a + 4 k$ 、 $b = - 2 a h + 8$ 和 $c = a h^{2} - y - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.4

添加圆括号。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5

使 $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 。

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解题步骤 12.5.1

将 ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ 重写为 $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ 。

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解题步骤 12.5.2.1

运用分配律。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.2.2

运用分配律。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.2.3

运用分配律。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.5.3.1.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 12.5.3.1.1.1

移动 $a$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.1.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.2

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 12.5.3.1.2.1

移动 $h$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.2.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.4

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.1.6

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.5.3.2

从 $- 16 a h$ 中减去 $16 a h$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6

从 $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 12.6.1

从 $4 a^{2} h^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.2

从 $- 32 a h$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.3

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.5

从 $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.6

从 $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.6.7

从 $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.7

使用 $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8

化简。

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解题步骤 12.8.1

化简每一项。

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解题步骤 12.8.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2

化简每一项。

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解题步骤 12.8.1.2.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 12.8.1.2.1.1

移动 $a$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.1.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.3

将 $- 4$ 移到 $a$ 的左侧。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.2.6

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.3

运用分配律。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4

化简。

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解题步骤 12.8.1.4.1

乘以 $- (- a y)$ 。

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解题步骤 12.8.1.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4.1.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.4.5

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.1.5

去掉圆括号。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.2

合并 $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ 中相反的项。

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解题步骤 12.8.2.1

从 $a^{2} h^{2}$ 中减去 $a^{2} h^{2}$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.8.2.2

将 $- 8 a h + 16$ 和 $0$ 相加。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.9

将 $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ 重写为 $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ 。

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解题步骤 12.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.9.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.10

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 12.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

解题步骤 13

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

初级微积分 示例

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