初级微积分示例

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 15}{{(x + 2)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x + 2)}^{2} (x + 1)$ 。

$\frac{(5 x^{2} + 17 x + 15) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(5 x^{2} + 17 x + 15) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(5 x^{2} + 17 x + 15) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2

用 $5 x^{2} + 17 x + 15$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = \frac{A {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = (A) (x + 1) + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + \frac{(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 和 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

从 $(B) {(x + 2)}^{2} (x + 1)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x + 1))}{x + 2} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.1

乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x + 1))}{(x + 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4.2.2

约去公因数。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + \frac{(x + 2) (B (x + 2) (x + 1))}{(x + 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4.2.3

重写表达式。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + \frac{B (x + 2) (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4.2.4

用 $B (x + 2) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B (x + 2) (x + 1) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + (B x + B \cdot 2) (x + 1) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.6

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + (B x + 2 \cdot B) (x + 1) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(B x + 2 B) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.7.7.1

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x (x + 1) + 2 B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.7.2

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + 2 B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.7.3

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + 2 B x + 2 B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + 2 B x + 2 B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + 2 B x + 2 B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.8.1.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + B x + 2 B x + 2 B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.8.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + B x + 2 B x + 2 B + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.8.2

将 $B x$ 和 $2 B x$ 相加。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.9

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.9.1

约去公因数。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x + 2)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.9.2

用 $(C) {(x + 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + (C) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.7.10

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C ((x + 2) (x + 2))$

解题步骤 1.7.11

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.7.11.1

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

解题步骤 1.7.11.2

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

解题步骤 1.7.11.3

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.7.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.12.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.7.12.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.7.12.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

解题步骤 1.7.12.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C (x^{2} + 4 x + 4)$

解题步骤 1.7.13

运用分配律。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C x^{2} + C (4 x) + C \cdot 4$

解题步骤 1.7.14

化简。

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解题步骤 1.7.14.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C x^{2} + 4 C x + C \cdot 4$

解题步骤 1.7.14.2

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C x^{2} + 4 C x + 4 \cdot C$

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 B x + 2 B + C x^{2} + 4 C x + 4 C$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

移动 $B$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 x B + 2 B + C x^{2} + 4 C x + 4 C$

解题步骤 1.8.2

移动 $2 B$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + A + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 4 C x + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.8.3

移动 $A$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 4 C x + A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.8.4

移动 $3 x B$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 3 x B + 4 C x + A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.8.5

移动 $A x$ 。

$5 x^{2} + 17 x + 15 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 3 x B + 4 C x + A + 2 B + 4 C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$17 = A + 3 B + 4 C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$5 = B + C$

$17 = A + 3 B + 4 C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

$5 = B + C$

$17 = A + 3 B + 4 C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $5 = B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $B + C = 5$ 。

$B + C = 5$

$17 = A + 3 B + 4 C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 5 - C$

$17 = A + 3 B + 4 C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

$B = 5 - C$

$17 = A + 3 B + 4 C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $5 - C$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $5 - C$ 替换 $17 = A + 3 B + 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$17 = A + 3 (5 - C) + 4 C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $A + 3 (5 - C) + 4 C$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$17 = A + 3 \cdot 5 + 3 (- C) + 4 C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$17 = A + 15 + 3 (- C) + 4 C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$17 = A + 15 - 3 C + 4 C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

$17 = A + 15 - 3 C + 4 C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 3 C$ 和 $4 C$ 相加。

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 2 B + 4 C$

解题步骤 3.2.3

使用 $5 - C$ 替换 $15 = A + 2 B + 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$15 = A + 2 (5 - C) + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简 $A + 2 (5 - C) + 4 C$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1.1.1

运用分配律。

$15 = A + 2 \cdot 5 + 2 (- C) + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

解题步骤 3.2.4.1.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$15 = A + 10 + 2 (- C) + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

解题步骤 3.2.4.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$15 = A + 10 - 2 C + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 10 - 2 C + 4 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $- 2 C$ 和 $4 C$ 相加。

$15 = A + 10 + 2 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 10 + 2 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 10 + 2 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

$15 = A + 10 + 2 C$

$17 = A + 15 + C$

$B = 5 - C$

解题步骤 3.3

将 $5$ 和 $- C$ 重新排序。

$B = - C + 5$

$15 = A + 10 + 2 C$

$17 = A + 15 + C$

解题步骤 3.4

在 $15 = A + 10 + 2 C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $A + 10 + 2 C = 15$ 。

$A + 10 + 2 C = 15$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$A + 2 C = 15 - 10$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

解题步骤 3.4.2.2

从等式两边同时减去 $2 C$ 。

$A = 15 - 10 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

解题步骤 3.4.2.3

从 $15$ 中减去 $10$ 。

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = A + 15 + C$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $5 - 2 C$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用 $5 - 2 C$ 替换 $17 = A + 15 + C$ 中所有出现的 $A$ .

$17 = (5 - 2 C) + 15 + C$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $(5 - 2 C) + 15 + C$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 $5$ 和 $15$ 相加。

$17 = - 2 C + 20 + C$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $- 2 C$ 和 $C$ 相加。

$17 = - C + 20$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = - C + 20$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = - C + 20$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$17 = - C + 20$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6

在 $17 = - C + 20$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $- C + 20 = 17$ 。

$- C + 20 = 17$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.6.2.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$- C = 17 - 20$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.2.2

从 $17$ 中减去 $20$ 。

$- C = - 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$- C = - 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.3

将 $- C = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $- C = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{C}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.3.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$C = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$C = 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$C = 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$C = 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

$C = 3$

$A = 5 - 2 C$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.7

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $3$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用 $3$ 替换 $A = 5 - 2 C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = 5 - 2 \cdot 3$

$C = 3$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.7.2

化简右边。

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解题步骤 3.7.2.1

化简 $5 - 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.7.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$A = 5 - 6$

$C = 3$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.7.2.1.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$A = - 1$

$C = 3$

$B = - C + 5$

$A = - 1$

$C = 3$

$B = - C + 5$

$A = - 1$

$C = 3$

$B = - C + 5$

解题步骤 3.7.3

使用 $3$ 替换 $B = - C + 5$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - (3) + 5$

$A = - 1$

$C = 3$

解题步骤 3.7.4

化简右边。

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解题步骤 3.7.4.1

化简 $- (3) + 5$ 。

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解题步骤 3.7.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$B = - 3 + 5$

$A = - 1$

$C = 3$

解题步骤 3.7.4.1.2

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 3$

解题步骤 3.8

列出所有解。

$B = 2, A = - 1, C = 3$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{- 1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x + 1}$

初级微积分 示例

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