初级微积分示例

$\frac{5 x - 3}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{5 x - 3}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 3) (x + 1)$ 。

$\frac{(5 x - 3) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.5

约去 $x - 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(5 x - 3) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(5 x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(5 x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2

用 $5 x - 3$ 除以 $1$ 。

$5 x - 3 = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$5 x - 3 = \frac{A (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$5 x - 3 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$5 x - 3 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$5 x - 3 = A x + A + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$5 x - 3 = A x + A + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(B) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$5 x - 3 = A x + A + (B) (x - 3)$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$5 x - 3 = A x + A + B x + B \cdot - 3$

解题步骤 1.7.6

将 $- 3$ 移到 $B$ 的左侧。

$5 x - 3 = A x + A + B x - 3 B$

解题步骤 1.8

移动 $A$ 。

$5 x - 3 = A x + B x + A - 3 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 3 = A - 3 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$5 = A + B$

$- 3 = A - 3 B$

$5 = A + B$

$- 3 = A - 3 B$

解题步骤 3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

在 $5 = A + B$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 5$ 。

$A + B = 5$

$- 3 = A - 3 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 5 - B$

$- 3 = A - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 3 = A - 3 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $5 - B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用 $5 - B$ 替换 $- 3 = A - 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 3 = (5 - B) - 3 B$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

从 $- B$ 中减去 $3 B$ 。

$- 3 = 5 - 4 B$

$A = 5 - B$

$- 3 = 5 - 4 B$

$A = 5 - B$

$- 3 = 5 - 4 B$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3

在 $- 3 = 5 - 4 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $5 - 4 B = - 3$ 。

$5 - 4 B = - 3$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 4 B = - 3 - 5$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- 3$ 中减去 $5$ 。

$- 4 B = - 8$

$A = 5 - B$

$- 4 B = - 8$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.3

将 $- 4 B = - 8$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

将 $- 4 B = - 8$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 8}{- 4}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 8}{- 4}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 8}{- 4}$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 4$ 。

$B = 2$

$A = 5 - B$

$B = 2$

$A = 5 - B$

$B = 2$

$A = 5 - B$

$B = 2$

$A = 5 - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

使用 $2$ 替换 $A = 5 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 5 - (2)$

$B = 2$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

化简 $5 - (2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A = 5 - 2$

$B = 2$

解题步骤 3.4.2.1.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$A = 3$

$B = 2$

$A = 3$

$B = 2$

$A = 3$

$B = 2$

$A = 3$

$B = 2$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = 3, B = 2$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{3}{x - 3} + \frac{2}{x + 1}$

初级微积分 示例

初级微积分示例