初级微积分示例

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8}{x + 1}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$1$

$x^{3}$

-

$5 x^{2}$

+

$2 x$

+

$8$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	-	$6 x$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	-	$6 x$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{2} - 6 x$ 中的所有符号

					$x^{2}$	-	$6 x$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	-	$6 x$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$	-	$6 x$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$	+	$8$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $8 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$	+	$8$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$	+	$8$
								+	$8 x$	+	$8$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x + 8$ 中的所有符号

					$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$	+	$8$
								-	$8 x$	-	$8$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
						-	$6 x^{2}$	+	$2 x$
						+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
								+	$8 x$	+	$8$
								-	$8 x$	-	$8$
											$0$

解题步骤 16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 6 x + 8$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$