初级微积分示例

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

解题步骤 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ 乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2

合并。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

解题步骤 2

运用分配律。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 3

通过相约进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $81$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将 $- \frac{1}{81}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

解题步骤 3.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

解题步骤 3.2.2

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

解题步骤 3.3

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{9}$ 。

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.3

约去 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.3.2

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.5

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.6

约去 $27$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.6.3

重写表达式。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

解题步骤 4.8

使用有理根检验法因式分解 $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

解题步骤 4.8.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

解题步骤 4.8.3

代入 $0.\overline{3}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.\overline{3}$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.3.1

将 $0.\overline{3}$ 代入多项式。

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.2

对 $0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.3

将 $27$ 乘以 $0.\overline{037}$ 。

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.4

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.5

将 $- 18$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.6

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 4.8.3.7

将 $6$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$- 1 + 2 - 1$

解题步骤 4.8.3.8

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 4.8.3.9

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 4.8.4

因为 $0.\overline{3}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

解题步骤 4.8.5

用 $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 除以 $3 x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

解题步骤 4.8.5.2

将被除数中的最高阶项 $27 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

解题步骤 4.8.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $27 x^{3} - 9 x^{2}$ 中的所有符号

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 4.8.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 9 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 4.8.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 4.8.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 4.8.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

解题步骤 4.8.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 4.8.5.12

将被除数中的最高阶项 $3 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 4.8.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 4.8.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x - 1$ 中的所有符号

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

解题步骤 4.8.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 4.8.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$9 x^{2} - 3 x + 1$

解题步骤 4.8.6

将 $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 书写为因数的集合。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

解题步骤 5

从 $81 x - 27$ 中分解出因数 $27$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从 $81 x$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

解题步骤 5.2

从 $- 27$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

解题步骤 5.3

从 $27 (3 x) + 27 (- 1)$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

解题步骤 6

约去 $3 x - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

解题步骤 7

分解分数 $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ 成为两个分数。

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 8

分解分数 $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ 成为两个分数。

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 9

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 9.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 10

约去 $- 3$ 和 $27$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$

初级微积分 示例

初级微积分示例