初级微积分示例

${(x)}^{- \frac{2}{3}} + {(x)}^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ 。

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{- \frac{1}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$u^{2} + u - 12 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $1$ 。

$- 3, 4$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{- \frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{- \frac{1}{3}} = 3$

解题步骤 3.2.2

将方程两边同时进行 $- 3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3

化简指数。

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解题步骤 3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1.1

化简 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

将 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.3

约去公因数。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.4

重写表达式。

$x^{- 1 \cdot - 1} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{1} = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

化简。

$x = 3^{- 3}$

解题步骤 3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1

化简 $3^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{3^{3}}$

解题步骤 3.2.3.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \frac{1}{27}$

解题步骤 4

将 $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{- \frac{1}{3}} = - 4$

解题步骤 4.2.2

将方程两边同时进行 $- 3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3

化简指数。

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解题步骤 4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1.1

化简 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

将 ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.3

约去公因数。

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.4

重写表达式。

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{1} = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

化简。

$x = {(- 4)}^{- 3}$

解题步骤 4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

化简 ${(- 4)}^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \frac{1}{- 64}$

解题步骤 4.2.3.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{64}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{27}, - \frac{1}{64}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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