初级微积分示例

$\sin (2 x) \sin (x) = \cos (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos (x)$ 。

$\sin (2 x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

乘以 $2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 3

从 $2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.3

从 $\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 6.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 6.2.4.4.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.2.7

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.7.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.7.4

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.7.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 6.2.7.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6.2.7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.7.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 6.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.8.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 6.2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.8.6.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 6.2.8.6.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

初级微积分 示例

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