初级微积分示例

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简项。

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解题步骤 2.2.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.2.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.1.2.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.2

使用勾股恒等式。

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $2 \sin^{2} (x)$ 相加。

$\sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm 0$

解题步骤 2.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2.3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3.4

化简右边。

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解题步骤 2.3.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 2.3.6

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 2.3.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.3.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.3.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.3.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.3.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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