初级微积分示例

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 7 x^{3} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 7 x^{3} - 7 x$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 7 x^{3}$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot 1 + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 7 x (x^{2}) - 7 x (1)$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $3 x^{4} - 3 x^{2} - 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) - 3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) - 6 = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

从 $3 (x^{4}) + 3 (- x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.5

从 $3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 2.1.5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (u^{2} - u - 2) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 2.1.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((u - 2) (u + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7

因数。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

去掉多余的括号。

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $- 7 x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2))$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 (x^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.9

运用分配律。

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.11

重新排序项。

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12

因数。

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解题步骤 2.1.12.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.12.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 2.1.12.1.1.1

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.1.2

把 $- 7$ 重写为 $2$ 加 $- 9$

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + (2 - 9) x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.1.3

运用分配律。

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 2 x - 9 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.12.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{2} + 1) ((3 x^{2} + 2 x) - 9 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x^{2} + 1) (x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.12.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 2$ 来因式分解多项式。

$(x^{2} + 1) ((3 x + 2) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.12.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.4

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 2.4.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, - \frac{2}{3}, 3$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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