初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$

解题步骤 1

将 $x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{4} - x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.3

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot - 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 5 (x) - 2 = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2

把 $5$ 重写为 $2$ 加 $3$

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + (2 + 3) x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.3.1.3

运用分配律。

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{3} (x - 1) - 3 x^{2} + 2 x + 3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} (x - 1) + x (- 3 x + 2) - (- 3 x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 x + 2$ 来因式分解多项式。

$x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $x^{3} (x - 1) + (- 3 x + 2) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.4.1

从 $x^{3} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (- 3 x + 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.1.4.2

从 $(- 3 x + 2) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.4.3

从 $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 3 x + 2)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 3 x + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 3 x + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.5.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 3 + 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.3.4

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.3.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.5.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

解题步骤 2.1.5.1.1.5

用 $x^{3} - 3 x + 2$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

解题步骤 2.1.5.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x - 2$

解题步骤 2.1.5.1.1.6

将 $x^{3} - 3 x + 2$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 2.1.5.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.3

合并同类因式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1.3.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.3.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x - 1) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x - 1) ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.6

通过指数相加将 $x - 1$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

将 $x - 1$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x - 1)}^{1 + 2} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{3} = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(x - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 ${(x - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.5

最终解为使 ${(x - 1)}^{3} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例