初级微积分示例

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$

解题步骤 1

将 $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 51, \pm 3, \pm 17$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 51, \pm 3, \pm 17$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

${(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 + 51$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - 5 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 + 51$

解题步骤 2.1.3.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 - 5 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 + 51$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 5$ 乘以 $9$ 。

$- 27 - 45 - 7 \cdot - 3 + 51$

解题步骤 2.1.3.5

从 $- 27$ 中减去 $45$ 。

$- 72 - 7 \cdot - 3 + 51$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 7$ 乘以 $- 3$ 。

$- 72 + 21 + 51$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 72$ 和 $21$ 相加。

$- 51 + 51$

解题步骤 2.1.3.8

将 $- 51$ 和 $51$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51}{x + 3}$

解题步骤 2.1.5

用 $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$51$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$24 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} - 24 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $17 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							+	$17 x$	+	$51$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $17 x + 51$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							-	$17 x$	-	$51$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$17$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$7 x$	+	$51$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$17 x$	+	$51$
							-	$17 x$	-	$51$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 8 x + 17$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 51$ 书写为因数的集合。

$(x + 3) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 8 x + 17$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 8 x + 17$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 8 x + 17 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 8 x + 17 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 17$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $17$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $64$ 中减去 $68$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{8 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 4 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 4 + i, 4 - i$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x + 3) (x^{2} - 8 x + 17) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 4 + i, 4 - i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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